今回は断面係数について勉強していきましょう。
断面係数を学ぶことによって、部材に掛かる曲げ応力度と圧縮応力度を求めるという頻出問題に対応できるようになりますのでしっかり学んで行きましょう。
断面係数とは
断面係数はその名の通り断面の性質を表す数値で断面2次モーメントに非常に似た数値で断面の曲げに対する強さを表す数値です。記号はZを用いて表します。
断面2次モーメントってなんだっけ？という人はこちら
断面2次モーメントが大きい部材を使うことでたわみにくくなったのに対して、
断面係数の大きい部材を使うことで大きい曲げモーメントにも耐えることができます。
断面2次モーメントと断面係数は似ていますが微妙に違うことに注意！！
また断面係数を用いることで部材断面にはたらく曲げ応力度を求めることができます。
応力度？なにそれと思ったあなた、応力度＝応力ではないので注意しましょうね。
断面係数の説明をする前にまずは応力度の説明から見ていきましょう。
応力度とは
応力度とは、面積(1mm2)当たりに生じる応力のことで、
・圧縮応力度
・引張応力度
・せん断応力度
・曲げ応力度
の4つがあり、部材断面の微小面積に生じる応力の集まりが圧縮応力や引張応力やせん断応力及び曲げ応力になります。
したがって応力度に断面積をかけると応力を求めることができ、逆に応力度を求めたい場合は応力を断面積で割れば求めることができます。
Point 応力=応力度×断面積
曲げ応力度
応力度を求めたい場合は応力を断面積で割ればいいことがわかりましたね。
しかし、曲げ応力度を求めたい場合は曲げ応力を面積で割るだけでは求まりません。
なぜかというと、曲げ応力は以前学習したように圧縮応力と引張応力の組み合わせで生じており、 その大きさも均等ではないからです。
曲げを受けている部材を見てみましょう。上側が圧縮され、下側が引っ張られていることがわかりますね?
さらに言うと、上側や下側でも部材の表面に近いほうが強く縮んだり引っ張られ、部材の中心に向かうほどあまり縮んだり、引っ張られたりしていません。
これを断面にどのように力が働いているかを図にあらわすとこのようになります。
部材の中心では力を圧縮も引っ張りも受けず、部材の表面に向かうほど圧縮や引っ張りが大きくなっていますね。
これらの力の合計が曲げ応力になるので、実際に計算していきましょう。
圧縮合力と引張合力は
σ×h/2×1/2×b=bhσ/4
これが三角形の重心に作用しています。モーメントは力×距離なので、圧縮力と引張同士の距離をかけると
bhσ /4 × 2/3ｈ = bh2σ/6
これがモーメントと等しくなるので
M=bh2/6 × σ となります。このbh2/6を断面係数Zといい、Mは次の式で表すことができます。
M=Z × σ
Point M = Z×σまたはσ＝±M/Z
一級建築士試験でよく出題されるのは、σ＝±M/Zを使って解く問題です。
その際注意してほしいのは符号が±というところです。
これは圧縮と引張りの力が生じるため±になるのです。
実際に例題を用いて、断面係数を求めるところから始めて曲げ応力度を求めてみましょう。
例題
部材に36kN・ｍのモーメントがかかっており、部材の断面の大きさが以下の場合の時、部材断面にはたらく応力度σを求めなさい。
応力度σ＝モーメントM/断面係数Zなので、まずは断面係数を求める必要があります。
断面係数Z＝bh2/6
Z＝300mm × 600mm × 600mm/6
Z=18000000mm3
この時に部材の単位をｍｍで統一しておきます。
統一さえすればｍでもcmでもOKです。
36kN・ｍ=36000000N・ｍｍなので、
σ=36000000N・ｍｍ/18000000ｍｍ3
σ=±2N/ｍｍ2 となります。
圧縮側と引張り側にそれぞれ2N/ｍｍ2ずつ働いていることがわかりました。
まとめ
・断面係数は曲げに対する強さを表す数値
・Z＝bh2/6で求めることが出来る
・σ=±M/Zの式により曲げ応力度を求めることができる
いかがでしたか？今回は断面係数と応力度について詳しく解説していきました。
断面係数を理解することで曲げ応力度を求める問題にも対応できるようになるので、きちんと何度も復習していきましょう。次回は断面係数を実際に用いて、圧縮応力と曲げ応力を求める問題を解いて行きましょう。今回もありがとうございましたー！
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