断面2次モーメントとは?

構造

今回は断面2次モーメントについて勉強していきたいと思います。

今回の学習を終えると、一級建築士の問題で頻出の断面2次モーメントを求める問題やたわみに対する問題の理解が深まります。

断面2次モーメントとは

断面2次モーメントとは、Iで表し、部材の曲がりにくさを表すのに用いられる数です。

断面2次モーメントIの値が大きければ部材は曲がりにくく、断面2次モーメントIの値が小さければ、部材は曲がりやすいということです。

あ、じゃあ木は断面2次モーメントが小さくて、鉄とかは断面2次モーメントが大きいってこと?と思ったあなた、上の説明を見るとそうとも解釈出来ると思います。

しかし、ここでの曲がりにくさとは、部材断面の形状によって決まるもので木や鉄などといった材質とはまた別の話になってくるので注意しましょう。

木や鉄などの材質の違いによる性能はヤング係数と呼ばれるもので、解説はまた今度しますね。

Point
断面2次モーメントは断面の形状によって決まる部材の曲がりにくさを示す数

実際に例を考えてみましょう。

左右の部材は同じ大きさの断面をしています。上から力を掛けて曲げようとした時に、横に使った場合と縦に使った場合を比べて見ると、なんとなくイメージで縦に使った時のほうが曲がりにくそうな感じがしませんか。

この右は曲がりやすそうで、左は全然曲がらなそうといったなんとなくのイメージを具体的に数値化したものが断面2次モーメントなのです。

断面2次モーメントの計算

断面2次モーメントの計算は複雑ですが、このブログではあくまで一級建築士試験の勉強をされている人に向けていますので、試験で用いる範囲で簡単に説明していきますね。

断面2次モーメント I=bh3/12

これが積分などの計算をすっぽかした、断面2次モーメントの公式になります。正直この公式さえ分かっていればほとんどの問題は解けてしまいます。

詳しく見ていきましょう。

この断面2次モーメントの公式は長方形に対して使えるもので、bは断面の横の長さ、hは断面の高さを表しています。

実際に先ほどの例で断面2次モーメントIを計算していきましょう。

部材を横に使った場合

I = 30cm × (20cm)3/ 12 = 20000cm4

部材を縦に使った場合

I = 20cm × (30cm)3/ 12 = 45000cm4

どうですか?簡単に求めることができましたね。部材を横に使った場合と縦に使った場合を比較してみると、縦に使ったほうが45000/20000=2.25倍 曲がりにくいことがわかりましたね。

おんなじ材質でも部材断面の形状や使い方によって曲がりにくさが変わってくるのが面白いですよね。

hが3乗になっているのがポイントです。部材断面の高さが大きいほど曲がりにくくなるんだなってことが計算式からもわかりますよね。

そこで人々は「高さがある断面のほうがいいけど、もっと経済的にも効率よく曲がりにくい断面はないのかなー」と更に考えたわけです。

その結果H型の断面が曲がりにくいし経済的にもいいよねということで実際に鉄骨造などでは良く用いられています。

したがって試験ではH型断面の断面2次モーメントIを求める問題が頻出するのです。

H型の断面でも求められるように一緒に見ていきましょう。

H型の断面2次モーメント

H型断面の場合でも縦に使った場合と横に使った場合の2パターンをしっかりとできるようにしていきましょう。

先ほどに長方形の場合の断面2次モーメントの求め方を学習しましたね。この公式を使って問題を解きたいので、H型を3つの長方形の集まりだと考えましょう。

ここで、ある条件のもとで断面2次モーメント足したり引いたりできるという特徴があるので、それを使って3つの長方形を足し引きしてH型断面の断面2次モーメントを求めます。

ある条件というのは、同じ軸を中心とする断面2次モーメント同士の場合というものです。

Point
断面2次モーメントは図形同士の中心軸が同じ場合足し引きできる

軸?なんの話?となるのは当然です。先ほどの公式を説明する際には省略しました。

実は先ほどの長方形の断面2次モーメントを求める公式というのは、断面の中心を通るX軸に対する断面2次モーメントを求める公式だったのです。

もう一度先ほどの例を見てみましょう。

部材を縦に使った場合と横に使った場合ともにこの図形の中心を通るX軸に対して断面2次モーメントというものが存在します。

H型断面を縦に使った例を見てみると、

上の長方形、真ん中の長方形、下の長方形それぞれの中心の軸がずれていますよね?

この場合足したりすることができないのです。

H型断面を横に使った例を見てみると

右の長方形、真ん中の長方形、左の長方形それぞれで中心の軸が一致していますよね?

したがってH型を横に使った場合はそれぞれ求めて足すだけでよいのです。

計算してみましょう。

I=(2cm × (6cm)3+6cm × (2cm)3+2cm × (6cm)3)/12

I=(532cm4+48cm4+532cm4)/12

I=92.67cm4 となりなんとか求まりましたね。

H型を縦に使う場合は、全体の大きい長方形から2つの長方形を引くという考え方で考えてみましょう。

引き算で考えたことによってそれぞれの図形の軸を揃えることができましたね。あとは断面2次モーメントをそれぞれ求めて引き算していくだけです。

I=(6cm × (10cm)32cm × (6cm)32cm × (6cm)3)/12

I=(6000cm4+532cm4+532cm4)/12

I=588.67cm4 となります。

H型を縦に使うか横に使うかで求め方が異なりますのでしっかりと抑えていきましょう。

Point
H型を縦に使う場合は全体の長方形から両端の長方形を引く
Point
H型を横に使う場合は3つの長方形を足す

まとめ

断面2次モーメントは断面の形状によって決まる部材の曲がりにくさを示す数

・長方形の断面2次モーメントは I=bh3/12

断面2次モーメントは図形同士の中心軸が同じ場合足し引きできる

・H型断面では長方形の組み合わせを足し引きすることで求める

いかがでしたでしょうか?特にH型断面の断面2次モーメントを求める問題はむずかしかったですね。縦横の2パターンさえできるようになればあとは数字が違うだけの問題なのでしっかりとおぼえましょうね。また、しっかり理解する為に何度も繰り返して学習をしていきましょう。

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