応力の求め方とは?

構造

今回は前回求めた支点反力を使って部材に発生する応力を求めていきたいと思います。

まだ反力の求め方がわからない方はこちら

応力図

応力は部材内部に流れる力のことでした。

そのことから部材の端部や中央などの場所によって、力の大きさが異なるのです。

そこで場所毎の応力を求めて図示し、視覚的に判断しやすくしたものを応力図といいます。

今回はこの応力図を書けるようにしていきましょう。

応力図にはM図(モーメント図)、Q図(せん断力図)、N図(軸力図)の3種類があります。

応力の計算

応力自体は部材をある点で切断して考えて、その点における応力を求めるという方法で計算します。

例を見ていきましょう。

部材中央の応力を知りたい場合には、A点から2m離れた位置で切断し、その切断点でのM、Q、Nを仮定します。

軸力NはX方向の反力および外力が存在しないため0kNとなります。

次にせん断力Qですが、Y方向の力の釣り合いより

Q=2kN となります。

最後にモーメントMを求めていきましょう。

切断点を中心として考えると、モーメントの釣り合いより

2kN × 2m – M =0 (時計周りを+とし、半時計周りはとして考えるのでしたよね)

M=4kN・m となります。

このようにして応力を求めるのです。

しかし、この方法では問題があります。

ある一点の応力しか求めることができず、応力図を書く事ができないのです。

そこでA点から2m離れた距離で切断していたものを、A点からxm離れた位置で切断し、応力を求めることによって応力図のようにすべての位置の応力を把握することができるのです。

応力の求め方(集中荷重)

それでは実際にA点からxm離れた位置での応力を求めていきましょう。

先ほどと同じように、力を仮定しつりあいを考えていきましょう。

N=0kN、Q=2kN となり、ここまでは先ほどと変わりません。

モーメントの釣り合いは

2kN × xm – M = 0

M = 2x kN・m となり、A点からの距離に応じてMが直線的に増加していくことが分かりました。

次に反対のB点からxm離れた位置での応力を求めていきましょう。

同様に計算すると、N=0kN、Q=2kN、M=2xkN・mとなり、B点から遠ざかる場合もMが増加していくことが分かりました。

これらを踏まえてM図とQ図を描くと、以下のようになります。

Q図

M図

応力の求め方(等分布荷重)

今度は等分布荷重のパターンで応力を求めていきましょう。

等分布荷重の場合も同じで、応力の仮定から始めます。

次に力の釣り合いから

N=0kN となります。次にQを計算すると

4kN – 2xkN – Q = 0 (上向きを+、下向きをとして考えます。)

Q=4-2xkN となります。

X=0の時(A点)、Q=4kN

X=2の時(A、Bの中央)、Q=0kN となります。

次にMを求めていきましょう。

4kN × xm – x/2 × 2x – M=0 (時計周りを+、半時計周りを)

M=4x – x2 となり

x=0の時、M=0kN・m

x=2の時、M=4kN・m となります。

B点からxm離れた位置での応力も同様にして求めると応力図は以下のようになります。

Q図

M図

簡単な求め方(公式)

以上が応力図の基本的な求め方となるのですが、問題を解く際にいちいちこのような計算をしていては手間です。

そこでモーメントを求める際に今回解いたような集中荷重や等分布荷重のかかった単純梁であれば以下の公式を使いましょう。

集中荷重 M=PL/4 (P:集中荷重 L:A点とB点の距離)

等分布荷重 M=wx2/8 (w:等分布荷重 x:A点とB点の距離)

先ほどの例で実際に使って見ると、

集中荷重 M=2kN × 4m/4 =2kN・m

等分布荷重 M=2kN/m × (4m)2/8 =4kN・m

とっても簡単に求めることができました。

まとめ

・応力図にはN図、Q図、M図の3種類がある。

応力の求め方

①応力を求めるにはある点からxm離れたで部材を切断して考える。

②切断位置での応力を仮定する。

③力の釣り合いを用いて計算する。

④応力図を書く

集中荷重では M=PL/4、 等分布荷重ではM=wx2/8 を用いると簡単

以上、いかがでしたでしょうか。今回から計算が少しずつ複雑化してきましたね。
応力図が書けるようになると構造での得点は伸びていきます。まずは応力図の形がどうなるのかということと、公式だけでもしっかりと覚えていきましょう。
また、公式を使わずに求めることができるようになると応用問題が出てきたときにも対応できるようになりますよ。繰り返して理解を深めていきましょう。

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